理系数学の良問プラチカ問題解説　２次関数　２（宇都宮大）

問題

\(a\)を定数とするとき、２次関数\(y=x^2-2ac+2a^2\)について

1. 区間\(0≦x≦2\)におけるこの関数の最大値と最小値を求めよ
2. 区間\(0≦x≦2\)におけるこの関数の最小値が20であるとき、\(a\)の値を求めよ

この問題を解くのに必要な前提知識

• 平方完成
• 軸と頂点の位置関係（軸の式や頂点の座標）
• 放物線の開き方と符号（どちらに凸か）

問題の解説

感想と気づいたこと

軸が\(x=a\)となるため場合分けが必要になってくる。場合わけの際に不等式に等号を入れるか入れないか迷ったが、そもそもの区間が\(0≦x≦2\)であり、この区間の端点で最大最小値を取るので、何も考えず等号を入れた式（◯≦◯≦◯）を使う。