プラチカ 理系数学の良問プラチカ 問題解説24 （神戸大）
問題(1)\(a,,b,c\)を整数とする。\(x\)に関する３次方程式\(x^3+ax^2+bx+c=0\)が有理数の解を持つならば、その解は、整数であることを示せ。ただし、正の有理数は１以外の公約数をもたない２つの自然数\(m,n\)を...
プラチカ 
プラチカ 理系数学の良問プラチカ 問題解説23 （鹿児島大）
問題\(a,b,c\)を奇数とする。\(x\)についての２次方程式\(ax^2+bx+c=0\)に関して(1)この２次方程式が有理数の解\(\frac{q}{p}\)をもつならば、\(pとq\)はともに奇数であることを背理法で証明せよ。ただ...
問題解説 理系数学の良問プラチカ 問題解説22 （静岡大）
問題複素数\(1+i\)を１つの解とする実数係数の３次方程式\(x^3+ax^2+bx+c=0\)・・・(※)について次の問いに答えよ(1) 方程式(※)の実数解を\(a\)を用いて表せ(2) 方程式(※)と２次方程式\(x^2-bx+3=...
プラチカ 理系数学の良問プラチカ 問題解説21 （東京都立大）
問題整式\(f(x)\)について恒等式\(f(x^2)=x^3f(x+1)-2x^4+2x^2\)が成り立つとする。(1) \(f(0),f(1),f(2)\)の値と求めよ(2) \(f(x)\)の次数を求めよ(3)\(f(x)\)を決定せ...
プラチカ 理系数学の良問プラチカ 問題解説20 （山形大）
問題整式\(P(x)\)を\((x-1)^2\)で割ったときの余りが\(4x-5\)で\(x+2\)で割ったときの余りが\(-4\)である。(1) \(P(x)\)を\(x-1\)で割ったときの余りを求めよ(2) \(P(x)\)を\((x...
プラチカ 理系数学の良問プラチカ 問題解説19 （島根大）
問題次の問いに答えよ(1) \(n^3+1=p\)を満たす自然数\(n\)と素数\(p\)の組をすべて求めよ(2) \(n^3+1=p^2\)を満たす自然数\(n\)と素数\(p\)の組をすべて求めよ(3) \(n^3+1=p^3\)を満た...
プラチカ 理系数学の良問プラチカ 問題解説18 （宮崎大）
問題(1)\(n\)を自然数とする。\(n,n+2,n+4\)が全て素数であるのは、\(n=3\)の場合だけである。(2) \(n\)を２以上の自然数とするとき\(n^4+4\)は素数にならないことを示せこの問題を解くのに必要な前提知識素数...
プラチカ 理系数学の良問プラチカ 問題解説17 （神戸大）
問題自然数\(n\)について以下の問いに答えよ1)恒等式\((n^2+1)-(n+2)(n-2)=5\)を利用して、\(n+2とn^2+1\)の公約数は１または５に限ることを示せ2) (1)を用いて、\(n+2とn^2+1\)が１以外に公約...
その他 理系数学の良問プラチカ 問題解説16 （千葉大）
問題\(n\)を奇数とする。次の問いに答えよ\(n^2-1\)は８の倍数であることを証明せよ\(n^5-n\)は３の倍数であることを証明せよ\(n^5-n\)は120の倍数であることを証明せよこの問題を解くのに必要な前提知識奇数の文字を使っ...
プラチカ 理系数学の良問プラチカ 問題解説15 （愛媛大）
問題\(f(n)=\frac{1}{6}n^3+an^2+bn\)とおくと、定数\(a,b\)は\(0≦a<1,0≦b<1\)を満たし、\(f(-1),f(1)\)はともに整数であるとする上の条件を満たす\((a,b)\)の組みを全て求めよ...