問題
(1)\(a,,b,c\)を整数とする。\(x\)に関する３次方程式\(x^3+ax^2+bx+c=0\)が有理数の解を持つならば、その解は、整数であることを示せ。ただし、正の有理数は１以外の公約数をもたない２つの自然数\(m,n\)を用いて\(\frac{n}{m}\)と表せることを用いよ。
(2) 方程式\(x^3+2x^2+2=0\)は有理数の解をもたないことを背理法を用いて示せ
この問題を解くのに必要な前提知識
- 整数係数の\(n\)次方程式\(a_nx^n+a_n-1x^n-1+・・・a_1x+a_0=0\)の有理数解\(x=\frac{q}{p}\)は、\(pはa_n\)の約数\(q\)は\(a_0\)の約数
- モニック方程式
問題解説
感想と気づいたこと
整数であることを証明するには左辺と右辺に整数を固定すると良い
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