問題
放物線 \(y=x^2\) 上の２点 \(P(p, p^2), Q(q, q^2)\) における接線をそれぞれ \(l, m\) とし, \(l と m\) の交点を R とする. ただし, \(p < q\) とする. ∠PQR を \(\theta\) とおくとき, 次の問いに答えよ.
(1)点Rの座標を \(p , q\) を用いて表せ
(2)\(\tan{\theta}\) を \(p , q\) を用いて表せ
(3)点Rが直線 \(y=-2\) 上を動くとき, \(\tan{\theta}\) の最小値を求めよ
この問題を解くのに必要な前提知識
- \(\tan{\theta}\) の加法定理
- 接線の方程式
- 相加相乗平均の関係
問題解説
感想と気づいたこと
- 点Pと点Qの位置によって \(\theta\) の傾きが変わってくる
- 接線の傾きは \(\tan{\theta}\) で表せる
- 最小値を求めるときは、相加相乗平均のパターンが頻出
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