プラチカ

問題(1)\(a,,b,c\)を整数とする。\(x\)に関する３次方程式\(x^3+ax^2+bx+c=0\)が有理数の解を持つならば、その解は、整数であることを示せ。ただし、正の有理数は１以外の公約数をもたない２つの自然数\(m,n\)を...

問題\(a,b,c\)を奇数とする。\(x\)についての２次方程式\(ax^2+bx+c=0\)に関して(1)この２次方程式が有理数の解\(\frac{q}{p}\)をもつならば、\(pとq\)はともに奇数であることを背理法で証明せよ。ただ...

問題整式\(f(x)\)について恒等式\(f(x^2)=x^3f(x+1)-2x^4+2x^2\)が成り立つとする。(1) \(f(0),f(1),f(2)\)の値と求めよ(2) \(f(x)\)の次数を求めよ(3)\(f(x)\)を決定せ...

問題整式\(P(x)\)を\((x-1)^2\)で割ったときの余りが\(4x-5\)で\(x+2\)で割ったときの余りが\(-4\)である。(1) \(P(x)\)を\(x-1\)で割ったときの余りを求めよ(2) \(P(x)\)を\((x...

問題次の問いに答えよ(1) \(n^3+1=p\)を満たす自然数\(n\)と素数\(p\)の組をすべて求めよ(2) \(n^3+1=p^2\)を満たす自然数\(n\)と素数\(p\)の組をすべて求めよ(3) \(n^3+1=p^3\)を満た...

問題(1)\(n\)を自然数とする。\(n,n+2,n+4\)が全て素数であるのは、\(n=3\)の場合だけである。(2) \(n\)を２以上の自然数とするとき\(n^4+4\)は素数にならないことを示せこの問題を解くのに必要な前提知識素数...

問題自然数\(n\)について以下の問いに答えよ1)恒等式\((n^2+1)-(n+2)(n-2)=5\)を利用して、\(n+2とn^2+1\)の公約数は１または５に限ることを示せ2) (1)を用いて、\(n+2とn^2+1\)が１以外に公約...

問題\(f(n)=\frac{1}{6}n^3+an^2+bn\)とおくと、定数\(a,b\)は\(0≦a<1,0≦b<1\)を満たし、\(f(-1),f(1)\)はともに整数であるとする上の条件を満たす\((a,b)\)の組みを全て求めよ...

問題\(a,b,c\)を整数とする。このとき、次のことを示せ\(a^2\)を3で割ると余りは0または1となる\(a^2+b^2\)が３の倍数ならば、。\(a,b\)はともに３の倍数である\(a^2+b^2=c^2\)ならば、\(a,b,c\...

問題\(x,y,z\)を\(x<y<z\)なる自然数とする。\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{2}\)を満たす、\(x,y,z\)の組み\((x,y,z)\)の中で、\(x\)が最...